Поиск то есть, и не только на сайте а еще и Google для начала.. но вся инфа про перенос уже матки с рабочими, когда те выполняют роль грузчиков. А у меня одна матка и мелкими яйцами.

Все как и с рабочими, новую емкость затенить, старую оставить на свету. В крайнем случае конечно можно и кисточкой ее погонять, но от такого отношения она эти самые яйца может запросто съесть. Решать вам

Ну у меня матка была уже с мурашами, при подключении нового домика они упорно отказывались туда уходить (консерваторы). При затемнении и осветлении реакции не последовало, но помогла обычная настольная лампа с лампочкой накаливания. Переехали очень быстро, но опять же, у меня были рабочие, которые помогали, будет ли спасать яйца матка-не знаю.

Яйца кистью просто подцепить.
Смахнуть прилипшие сложнее.
Тут муравьиха Вам поможет.
Переселяете первой и кисточку с кладкой подносите ей.
Заберёт аккуратно и сложит.